Auswertung der globalen Temperaturdaten mit statistischen Methoden

Immer diese Statistik! Bild: RainerSturm / pixelio.de

Eine globale Mitteltemperatur der Atmosphäre der Erde gibt es nicht in der realen Welt. Sie ist ein künstliches Konstrukt, dass aus vielen Rohdaten und ihren oft undurchsichtigen Transformationen mittels aufwendiger statistischer Bearbeitung gewonnen werden. Jede Messung ist aber mit Fehlern untrennbar verknüpft. Dabei unterscheidet man zufällige, systematische und auch grobe Fehler. Letztere lassen sich am einfachsten kompensieren, bei den anderen ist es of nur begrenzt oder gar nicht möglich. Was man aber kann ist ihre Größe abzuschätzen. Das hat unser Autor Klaus Martin getan. Seine Ergebnisse sind sehr interessant.
Wegen der vielen Formeln sind die Texte als Bilder eingestellt worden. Wir bitten um Verständnis. Der ganze Aufsatz ist auch als pdf am Ende herunterladbar.

Temperatur_Anomalien_07.11.18

 

 

 

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36 Kommentare

  1. Die globale Durchschnittstemperatur ist nichts weiter als eine mathematische Fleißübung. Sie hat keinerlei praktischen Wert.

    Das Schlimme ist ja, dass mit dieser globalen Durchschnittstemperatur suggeriert werden soll, dass sich die Atmosphäre gleichmäßig über die Jahre und überall auf der Erdoberfläche (und an der Meeresoberfläche wohl auch) erwärmt hat. Wegen CO2.

    Nur hat das mit der Realität nichts zu tun. Ein oder zwei heiße Tage mehr in jedem Sommermonat und ein oder zwei wärmere Tage in den Wintermonaten, wegen lokaler Wettererscheinungen, und schon steigt die Durchschnittstemperatur an und Claus Kleber berichtet: die Erde erwärmt sich.

    Wenn CO2 aber diesen erwärmenden Effekt haben soll, dann muss der immer und überall wirksam sein und es müsste sich gleichmäßig überall erwärmen. Die Messungen der lokalen Wetterstationen zeigen aber etwas völlig anderes. Hier wird es wärmer, dort kühler und woanders ist die Temperatur stabil. Und nun ist es eben so, dass es an einigen Orten mehr als früher etwas wärmer ist. An manchen Tagen. Zack, schon stiegt eben die Durchschnittstemperatur. Aber keineswegs erwärmt sich die Erdatmosphäre ständig und gleichmäßig und überall, wie es die Kurven der globalen Durchschnittstemperaturen suggerieren.

  2. Ich möchte anhand von folgendem Beispiel zeigen, dass es nicht viel Sinn macht, Änderungen von Mitteltemperaturen von weniger als 1 °C eine große Bedeutung beizumessen. Für die Säkularstation in Potsdam erhalte ich für 2017 eine Jahresmitteltemperatur (Luft-Temperatur in 2m Höhe) von 10,06 °C. Die Anomalie (1981-2010) ist 0,77 °C. Dagegen ist die Boden-Temperatur in 2 cm Boden-Tiefe 14,79 °C. Die Anomalie (1981-2010) -0,77 °C, in 5 cm Tiefe ist die Anomalie +0,12 °C, in 10 cm Tiefe 0,50 °C, in 20 cm Tiefe 0,80 °C. Eine Ameise kann nur darüber lachen, welche Sorgen die Menschen haben.

  3. Jenseits dieser Fachdiskussion unter Statistikern bleibt für mich die grundsätzliche Frage was soll das Mitteln von Temperaturen (intensive Grösse) überhaupt?? Das Mittel aus 25°C und 35°C ist 30°C. Das Mittel aus 0°C und 60°C ist auch 30°C. Der Tagesgang der Temperaturen an einem Messort plus die Jahreszeiten plus die Einflüsse der Veränderung der Umgebung (Landwirtschaft, Forstwirtschaft, Strassenbau, Verkehrswege..) erzeugen doch ein Grundrauschen worin jede Statistik  die dich auf 0,5/273 K beruft untergeht. Zumal selbst irgendwie ermittelte statistische Temperaturschwankungen dem CO2 kausal gar nicht zuzuordnen sind. Und eine physikalisch plausible Begründung (Kausalität) für eine Klimaerwärmung durch CO2 steht ja noch immer aus. Der Klimahyp ist kein statistisches Problem auch wenn man gerne mit Statistiken Politik macht; die sind so leicht zu manipulieren….

    • Herr Pesch,

      es ist erfreulich, dass Sie darauf hinweisen, dass die Temperatur eine intensive Groesse ist. Obwohl das zum Lehrstoff sowohl der Physik und der Meteorologie als auch der Chemie gehoert, scheinen die meisten der Klimatologen diesen Sachverhalt vergessen zu haben.

      Ich moechte an dieser Stelle nochmals die Aussage von Bohren & Clothiaux (2006), „Fundamentals of atmospheric radiation“, zitieren:

      “In general, energy (or power) is a more relevant physical quantity than temperature. Energies are additive, temperatures are not; energy is conserved, temperature is not. Energy fluxes drive atmospheric processes. But W/m² is banned from American newspapers, both because it is an SI quantity and because it is much too scientific for readers of even the most pretentious newspapers in the land. Similarly, in-stead of energy fluxes we get the wind-chill temperature, which obscures the fact that energy fluxes, not temperatures, kill people by hypothermia.”

      MfG

    • Statistik ist Mathematik und keine Naturwissenschaft. Diesen Unterschied sollte man zumindest ansatzweise kennen, wenn man über so Komplexe Dinge wie das Klima oder die Klimaveränderung reden will. Natürlich ist ein „Durchschnittstemperatur“, wie auch immer sie gemessen oder errechnet wird, keine unmittelbar praktsich nutzbare, sondern eine theoretische Größe. Aber zweifellos kann Statistik/Mathematik ein sehr hilfreiches Instrument auch in der Naturwissenschaft sein. Einfaches Beispiel: Lange bevor die äußeren Planeten unseres Sonnensytems entdeckt, sprich gesehen werden konnten (Naturwissenschaft), war es möglich, sie rechnerisch darzustellen (Mathematik). Noch ein Beispiel: Die wenigsten Deutschen erreichen das durchschnittliche Lebensalter.  Aber nur mit Hilfe der Statistik und der theoretischen Größe Durchschnittsalter sind Aussagen darüber möglich, wie sich die Lebenserwartung im Lauf der Jahrzehnte verändert hat.

      Aber ohne Zweifel auch richtig: Kaum etwas lässt sich leichter manipulieren als eine Statistik, das wusste schon Churchill.

      • https://www.zeit.de/2006/25/Stimmt-s_P-25_xml

        Jede Statistik ist ohne eine plausible Kausalität der dargestellten Parameter völlig sinnlos! So lange niemand eine physikalisch plausible Begründung für eine Klimaerwärmung durch CO2 formulieren kann ist jeder Versuch die Größe dieser Erwärmung statistisch darzustellen nichts anderes als der statistische Beweis dass der Klapperstorch die Babys bringt. Nicht ohne Grund verweigert sich Politik, GEZ Medien und angeschlosse Institutionen (PIK..) sowie NGO’s dieser Grundlagendiskussion. Man postuliert eine CO2 getriebene Klimaerwärmung und lässt entsprechende Computerprogramme das Ende der Welt berechnen. So funktioniert die offizielle Klimapolitik im 21. Jahrhundert….

        • „Nicht ohne Grund verweigert sich Politik, GEZ Medien und angeschlosse Institutionen (PIK..) sowie NGO’s dieser Grundlagendiskussion.“

          Stimmt!

          Ist übrigens mit dem Urknallkram genauso… 

      •  Die wenigsten Deutschen erreichen das durchschnittliche Lebensalter.

        Fast richtig: 2008 lag das“durchschnittliche Lebensalter“ bei ca. 77 Jahren. Es sind aber 2008 mehr Menschen im Alter über 77 Jahre gestorben als Menschen in einem Alter bis 77 Jahren gestorben sind. Somit ist Ihre Aussage (für das Jahr 2008) nicht richtig.

        MfG

        Ketterer

      • Und Mathe ist wohl eine Wissenschaft und das Butterbrot der Naturwissenschaftler. Muss man nicht wissen, aber trotzdem ein Schlaumeierbonus für mich:)

  4.  
    Bei dieser Art von Statistik bekomme ich „Bauchweh“. Obwohl eindeutig ein Trendkanal erkennbar ist, werden Gruppen gebildet und deren Werte als Grundgesamtheiten betrachtet, zum Schluss sogar Mittelwert und Streuung aus allen Messwerten berechnet. Aus meiner Sicht müsste stattdessen Regressionsstatistik angewandt werden.
     
    Das wäre dann aber auch nur die „halbe Miete“, denn eine Regressions-Auswertung hat nur dann Sinn, wenn man sich absolut sicher wäre, dass keine Zyklik vorliegt und sich der Trend irgendwann umkehrt, was die wirkliche (nicht die IPCC-) Klimahistorie nahelegt. Genau daran scheiden sich die AGW-Befürworter und –Kritiker.
     
    So schön und informativ die Statistik im Artikel ausgearbeitet ist. Für mich eher ein Beispiel, wie man mit Statistik abhängig von den Annahmen zur Grundgesamtheit eventuell auch zu falschen Ergebnissen kommt.
     
    Eine weitere Frage stellt sich. Im Artikel steht, „dass selbst Messwerte von Messstationen korreliert sind, die 1000 km voneinander entfernt sind“. Das liest man öfter. Es widerspricht aber meinen Feststellungen aus vielen Vergleichen von Klimarekonstruktionen. Sieht man sich den reinen „Spaghettibrei“ der Temperaturrekonstruktionen im Pages2k-Projekt (laut Herrn Rahmstorf eine absolut hochwertige Datenbank) an, findet man das bestätigt. Daraus gibt es nur folgende Schlüsse: Die Temperaturrekonstruktionen sind in vielen Fällen grottenschlecht (trifft sicher zu, wie ich in einem EIKE-Artikel schon einmal gezeigt habe) und/oder die Korrelation ist erheblich geringer als angenommen. Trifft wohl auch zu, da die Annahme eher einem Wunsch entspricht, um zu „belegen“ dass man die Globaltemperatur trotz der fehlenden (und sein einigen Jahrzehnten drastisch reduzierten) Messstationsanzahl mittels Simulation der Zwischenwerte „genau so genau“ berechnen kann.
     

    • Genau berechnen kann man alles.
      Der Physik ist das jedoch völlig egal. In meinem Vortrag auf der kommenden 12. IKEK werde ich zeigen, dass keine statistische Methode eine globale Mitteltemperatur herzaubern kann, schon gar nicht auf zwei Stellen hinter dem Komma, die irgendeinen realistischen Bezug hat.
      Nur weil die Klimaphysiker nicht in der Lage sind ihre extrem vereinfachte Schwarzkörperphysik an einen Großkörper wie die Atmosphäre der Erde anzupassen, bedeutet das noch lange nicht, das sich diese dem Vereinfachungsdiktat auch beugen würde.

      • Es gibt doch keinen ernsthaften Wissenschaftler, welche eine globale Mitteltemperatur auf 2 Stellen nach dem Komma angibt. Diese geben lediglich die Änderung der Temp in der Vergangenheit genau an.

        Oder meinen Sie das?

        • Die Weltorganisation für Meteorologie in Genf (WMO), benannte im Januar 2017 die globale Mitteltemperatur des Jahres 2016 mit 14,83 °C.
          Quellen-Nachweis auf der Webseite am 18.01.2017 bei der WMO in Genf, hier:  https://public.wmo.int/en/media/press-release/wmo-confirms-2016-hottest-year-record-about-11%C2%B0c-above-pre-industrial-era
          Dort zögert man nicht auch noch folgendes zu verkünden:

          The globally averaged temperature in 2016 was about 1.1°C higher than the pre-industrial period. It was approximately 0.83° Celsius above the long term average (14°C) of the WMO 1961-1990 reference period, and about 0.07°C warmer than the previous record set in 2015.

          • Ich kann die 14,83 nicht finden. In ihrem Link stehen nur die 14 Grad, also +/- 0,5 Grad. So genau müsste man die Mitteltemperatur angeben können oder?

          • Lesen bildet. Im link stehen 14 ° Mitteltemperatur und 0,83 °C die das Jahr 2016 darüber liegt. Die ARD Moma machte daraus zu recht 14 + 0,83 = 14,83 °C für 2016.

          • Aber man kann den Wissenschaftlern doch nicht vorwerfen, dass das Frühstücksfernsehen deren Zahlen nicht wissenschaftlich korrekt angibt.

            Statistik und die Mittelwertbildung ist ein sehr komplexe Gebiet. Wissenschaftliche Arbeiten wegen einer Moma-Zitierung oder wegen einer Zusammenfassung in Frage zu stellen, finde unwissenschaftlich.

            Mich würde in ihrem Vortrag interessieren wie genau man die Änderung überhaupt angeben kann. Wo liegen die Unsicherheiten? Die globale Mitteltemperatur hat aus meiner bescheidenen Kenntnis nur eine untergeordnete Bedeutung (gerade weil man diese nur ungenau bestimmen kann)

          • Entweder Sie begreifen´s immer noch nicht, oder Sie wollen es nicht begreifen, und spielen hier nur den Dummen.

            Die WMO – an dieser Stelle – gibt die absolute globale Mitteltemperatur auf 2 Stellen hinterm Komma an, egal ob Sie das selber ausrechnen oder nicht.
            Einmal als „Referenztemperatur“ des Mittelwertes von 1961 bis 1990 von genau 14 °C und dann die Anomalie dazu in Höhe von 0,83 ° C. Letztere ist, wie sie erkennen müssten auf 2 Stellen hinterm Komma angegeben. Das davor stehende einschränkende „approximately“ kann entweder nur als Witz gemeint sein, oder bezieht sich auf weitere Stellen hinter dem Komma.
            Dann erlauben die sich auch noch, auch das ist Ihnen offensichtlich entgangen, die Differenz zu 2015 mit sage und schreibe 0,07 ° C anzugeben. Auch hier wieder 2 Stellen hinter dem Komma, bezogen natürlich auf die absolute Temperatur von 2016 mit 14 + 0,83 = 14,83 °C..

            Und noch etwas.
            Sie stellen selber fest, dass man die absolute Mitteltemperatur nur ungenau bestimmen kann. Darin stimmen wir überein.
            Nun müssen Sie aber auch erklären, wie Sie aus zwei ungenauen absoluten Mitteltemperaturen (Referenz- und aktuelle Mitteltemperatur) eine Differenz auf zwei Stellen hinter dem Komma bestimmen wollen?
            Das ist nachdem was ich gelernt habe logisch unmöglich.
            Offensichtlich sehen das die „Klimawissenschaftler“ des IPCC und Zuarbeiter mehrheitlich genauso denn die Angaben der absoluten Mitteltemperatur sind mindestens auf 1 Stelle einer dem Komma genau angegeben.

            Für Messtechniker und Statistiker ist das zwar ein Witz, geht aber heutzutage immer noch als „Wissenschaft“ durch.

          • Ich sage ja nur, dass es ein Unterschied zwischen der Genauigkeit der Absoluttemperatur und der Temperaturänderung gibt. Oder gehen Sie davon aus, dass beide die selbe Genauigkeit haben? Das würde dann unser Missverständnis erklären.

            Wenn ein Wissenschaftler eine Temperatur mit 14 Grad ohne Kommastellen angibt, dann hat das meistens den Hintergrund, dass er es nicht genauer angeben kann. Wenn die selbe Person die Änderung der Temp mit zwei Kommastellen abgibt, dann kann er es wahrscheinlich so genau angeben. Wenn nun ein Laie die beiden Werte addiert und davon ausgeht, dass die Genauigkeit bei zwei Kommastellen bleibt, dann kann man dies nicht dem Wissenschaftler vorwerfen. Man kann diesem max vorwerfen, dass er davon ausgegangen ist, dass dies zur allgemeinen Bildung im Matheunterricht gehört. Da dies nicht der Fall, sollte man wahrscheinlich zu jeder Pressemitteilung einen Handzettel mit dem Umgang von Genauigkeiten beifügen.

            Ich weiß, dass man die Temperaturänderung deutlich genauer als die Absoluttemperatur angeben kann. Mich interessiert aber wie genau?. Worauf bezieht sich „approximately“ und welche Spannbreite ist damit gemeint?

          • Ich weiß, dass man die Temperaturänderung deutlich genauer als die Absoluttemperatur angeben kann. Mich interessiert aber wie genau?. Worauf bezieht sich „approximately“ und welche Spannbreite ist damit gemeint?

            Wie soll das praktisch gehen?
            Worauf stützt sich die errechnete Genauigkeit?

            Sicher, mit dem Rechenstift oder Rechner geht alles.
            Jedoch sind dann die Zahlen ohne Aussagekraft.
            Wie Gauss schon sagte. Übergenaues Rechnen ist das Kennzeichen schlechter Mathematiker.

            Und noch etwas:
            Anomalien werden für genauer gehalten als die Ursprungswerte. Das stimmt aber nur für den Fall, dass die beiden bezogenen Werte dieselbe Basis (Messstation, Thermometer, Zustand) und – vor allem denselben Zeitpunkt haben.Nur dann gleicht sich ein Fehler (sofern er dieselbe Richtung und Größe hat) aus. Generell gilt aber, dass ihnen innewohnende Fehler sich nämlich addieren – bestenfalls mit der Wurzel aus der Summe der Quadrate- aber sich nach der Subtraktion auf einen sehr viel kleineren Wert beziehen, als vor der Differenzbildung. D.h. ihr Gewicht vervielfacht sich.

          • Unabhängig von der Kommastellendebatte erhebt sich für mich die Frage, wie man eine „Basismitteltemperatur“ überhaupt definiert!

            NOAA schreibt etwa: https://www.ncdc.noaa.gov/sotc/global/201713
            „The 1901-2000 average combined land and ocean annual temperature is 13.9°C (56.9°F), the annually averaged land temperature for the same period is 8.5°C (47.3°F), and the long-term annually averaged sea surface temperature is 16.1°C (60.9°F).“

            Es scheint also, als ob hier die mathematisch errechnete Luftmitteltemperatur in 2 m Höhe von 8,5°C mit der mathematisch errechneten Wasseroberflächenmitteltemperatur von 16,1°C zu 13,9°C gemittelt wird. Wobei nicht einmal angegeben ist, aus welcher Wassertiefe der Wasserwert stammt und was der Ergebniswert darstellen soll, ist das eine Oberflächentemperatur oder eine Atmosphärentemperatur?

            Und über die enthaltene Wärmemenge sagt dieser Wert ohnehin gar nichts aus!

          • Das heißt, dass für Sie eine absolute Temp die gleiche Genauigkeit hat wie eine Temp.änderung? Oder vereinfacht gesagt: Ein Thermometer wurde mit einer Genauigkeit von 3% geeicht, also bei 20 Grad +/-0,6. Am nächsten Tag werden 21 Grad gemessen. Dann heißt das für Sie, dass der Temp.anstieg von 1 Grad eine Ungenauigkweit von +/-0,6 hat?

            Ich stimme Ihnen aber zu, dass eine Zahl nicht zu genau angeben werden sollte oder um noch präziser zu sein: man sollte ein Zahl immer mit der passenden Genauigkeit angeben. Deswegen wurde in ihrer Quelle auch die ungenaue absolute Temp mit 14 Grad angegeben und die Änderung mit 2 Kommastellen. Deswegen finde ich es Blödsinn die 14,83 Grad aus einer Frühstückssendung als Grundlage für eine Diskredetierung zu verwenden, da es die eigene Expertise bloß stellt.

            Da finde ich es besser die Quellen zu hinterfragen, wie sie es zuletzt auch angemerkt haben.

          • Wenn man für eine Periode angenommen 14°C auf +/- 0,3 °C angeben kann, ergibt das den möglichen Bereich von 13,7°C bis 14,3 °C.

            Einen Referenzwert aus einer anderen Periode (vorindustriell) gäbe man nun z. B. mit 13,5° +/- 0,3 ° an, also 13,2°C bis 13,8°C.

            Dann ergibt sich die Änderung als maximal +1,1°C und minimal als – 0,1°C. Was gibt die Klimatographie nun als Temperaturänderung an und mit welcher Genauigkeit?

    • Nein, das stimmt nicht. Die mittlere planetare/globale Temperatur {T} wird wie folgt bestimmt:

      {T} = 1/2*integral[T(φ)*cos(φ)*dφ|-pi/2,pi/2]

      wobei φ der Breitengrad (Angabe mit zwei Nachkommastellen) und T(φ) die mittlere Temperatur für den Breitengrad ist.

      Die globale Temperatur ist eine winkelgetreue Temperatur aber keine flächengetreue Temperatur (oder Flächenmittel).

      • @Effmert,
        Und genau das ist das globale Flaechenmittel der Oberflaeche einer Kugel, denn der Betrag des Ortsvektors, r = |r|, ist im Falle einer Kugel konstant.
        Hier ein bisschen von dem Lehrstoff, den ich waehrend meiner Vorlesungstaetigkeit  praesentiert habe:

        Das Flaechenmittel einer Groesse T ist im allgemeinen gegeben durch

        {T} = 1/A INT_A (T dA)

        Im allgemeinen Falle erscheint das Quadrat des Ortsvektors, r^2, sowohl unter dem Oberflaechenintegral des Zaehlers

        INT_A (T dA) = INT_W (T r^2 dW)
        als auch dem Oberflaechenintegral des Nenners,
        A = INT_W (r^2 dW).

        denn es wird ueber die Oberflaeche eines Koerpers gemittelt. Dabei wird ueblicherweise das Flaechenelement dA mit Hilfe des differentiellen Raumwinkels gemaess

        dA = r^2 dW

        gebildet, wobei dW = sin (q) dq dj. Hierin sind q der Zenitwinkel, der von 0 bis p rangiert und j das Azimut, was von 0 bis 2 p rangiert.

        Die Oberflaeche einer Kugel ist dann A = r^2 INT_W dW = 4 p r^2. Der Raumwinkel einer Kugel ist also W = 4 p.
        Im Falle einer Kugel gilt fuer den Zaehler
        INT_W (T r^2 dW) = r^2 INT_W (T dW)
        Folglich ist das globale Mittel gegeben durch

        {T} = 1/(4 p) INT_W (T dW).
        Damit ergibt sich
        {T} = 0,5 INT_(0,p) (T* sin (q) dq).
        Hierin ist T* das Mittel entlang eines Breitenkreises. Wenn man nun noch den Zenitwinkel mit Hilfe des Winkels des Breitenkreises ersetzt, ergibt sich die von Ihnen aufgelistete Formel.
        Fazit: Das globale Mittel ist ein Flaechenmittel.

        (Ich habe fuer die griechischen Symbole die ueblichen ASCII-Zeichen verwendet.)

        •  
          Sehr geehrter Herr Prof. Gerhard Kramm,
          da haben sich einige schon so oft mit dem Hammer auf den Daumen getroffen,dass der persönliche Schmerz nicht mehr empfunden wird.
          Wo eine Fläche,da ist auch ein Volumen mit seiner ganzen Schönheit .Und genau darin verschwinden so mal eben 2°C.
          Vielen Dank für Ihre Ausführung,da kann man auch im Alter von 64 Jahren sein Wissen noch abrunden.
          Mit herzlichem Glückauf
           

        • @Herrn Gerhard Kramm

          Für eine ideale Kugel ist das absolut korrekt und gut erklärt – Danke.

          Wie sieht es für die Erde als Sphäroid (veränderlicher Schwerpunkt – Ortsvektor ist zeitlich und räumlich nicht konstant) aus, wobei man die Erde als „kugel-ähnlichen Klumpen“ bezeichnen könnte?

          Nach einem Artikel der Standardisierung der Berechnung der mittleren Oberflächentemperatur spricht man von einer räumlichen Integration.
          Siehe: https://www.vsl.nl/en/about-vsl/news/average-temperature-earth-surface

          Obwohl die Temperatur in 1,5 – 2 m über der Landoberfläche strenggenommen keine Oberflächentemperatur ist.

          Die Gewässeroberflächentemperatur ist wesentlich genauer definiert.
          Siehe: ftp://podaac.jpl.nasa.gov/allData/ghrsst/docs/GHRSSTUserGuidev9.pdf.

          • @Effmert

            Die Abweichung von der Kugelgestallt ist kein Problem (siehe https://www.scirp.org/Journal/PaperInformation.aspx?PaperID=78836 , Gleichunegn (2.1) – (2.5)). Die Annahme der Kugelgestalt ist hauptsaechlich im Falle der Herleitung einer analytischen Loesung erforderlich.

      • Sehr geehrte(r) Frau/Herr Effmert,

        glauben Sie wirklich, dass man für einen Breitegrad von z.B. 73,56 Grad nördlicher Breite eine mittlere Temperatur angeben kann – und für 73,57 Grad dann eine andere usw. usf. (wobei eine Einzige T(φ) dann für eine Fläche von durchschnittlich 20000km² gilt)?

        Also ich glaube eher, dass man mit Ihrer Formel toll die Länge des Bartes des Weihnachtsmanns in cm berechnen kann – selbstverständlich auf zwei Nachkommastellen genau)!

        MfG

        • @Langer,

          bevor Sie jemanden angreifen, sollten Sie sich informieren, was korrekt ist. Lesen Sei meine Antwort auf Effmert. Und wenn Ihnen das nicht hilft, dann kann ich Sie nur auf  die einschlaegige Fachliteratur verweisen, z.B.

          Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J., 1998. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1008 pp.

  5. Vielen Dank für diese grundlegenden Ergebnisse. Ist es möglich, dass Dokument als pdf zu erhalten? Das Lesen (und Vergrößern) von Pixelbildern macht die Sache nicht eben ‚klarer‘!

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